RAZONES
RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.
RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.).
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.
RAZÓN GEOMÉTRICA POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división ().
Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 84, y se lee, ocho es a cuatro.
Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS
Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:
Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE
Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:
Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.
EJERCICIOS
(En los ejercicios siguientes, cuando se diga simplemente razón o relación, se entenderá que la razón pedida es geométrica).
Cite dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica sea .
Hallar la razón aritmética y geométrica de :
a) 60 y 12. R. 48; 5. c) 5.6 y 3.5 R. 2.1; .
b) y . R. ; . d) y 0. 02. R- 0.355; .
Hallar la relación entre las edades de dos niños 10 y 14 años. R. .
Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.
Cite tres pares de números cuya razón sea ; tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.
La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿ cuál es el mayor? R. 24.
El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos de 5 a 7. Hallar el número menor. R 30.
Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? R. 119.
PROPORCIONES ARITMÉTICAS.
EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.
Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:
a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.
TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA
Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.
Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
CLASES DE EQUIDIFERENCIAS
Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 – 6 y equidiferencia contínua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS
TEOREMA
En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a + d = c + b.
En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a- - b = c – d un extremo y un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d y simplificando, queda a + d = c + b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7 tenemos: 8 + 7 = 9 + 6 o sea 15 = 15.
COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:
En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a = b + c – d.
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental, que: a + d = b + c.
Restando d a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando a = b + c – d.
EJEMPLO
En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.
En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.
Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que b = a + d – c.
En efecto: ya sabemos que a + d = b + c.
Restando c a los dos miembros, tendremos: a + b – c = b + c – c y simplificando b = a + d – c.
EJEMPLO
En 11 – 7 = 9 – 5 tenemos que 7 = 11 + 5 – 9.
MEDIA DIFERENCIA O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencial es 6.
TEOREMA
La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.
Sea la equidiferencia a – b = b – c. Vamos a demostrar que =
En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea a + c = 2b.
Dividiendo ambos miembros por 2 queda: = o sea = b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En 12 – 9 = 9 – 6 tenemos 9 = .
HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS
Hallar el término desconocido en 8 – 6 = 4 – x.
Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:
X = 6 + 4 – 8 = 2
Y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia: 8 – 6 = 4 – 2.
2) Hallar el término desconocido en 3.4 – x = - 1.
Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:
x = 3.4 + 1 - = 4.4 - = = 2
y sustituyendo el valor de x: 3.4 - 2 = - 1.
Hallar el término desconocido en 14 – x = x – 3.04
Aquí el término desconocido es la media diferencial, que es igual a la semisuma de los extremos, luego:
x = = = 8.52
y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia dada:
14 – 8.52 = 8.52 – 3.04
EJERCICIOS
Hallar el término medio proporcional entre:
Solución
50 – 42 = 25 – x
R. 17
16.5 – 8 = x – 2
R. 10.5
45.3 – x = 18 – 0.03
R. 27.33
x – 0.4 = 25 – 0.004
R. 25.396
- = - x
R.
- x = -
R.
8 - = x – 5
R. 13
0.03 – 0.01 = 15 - x
R. 15.38
x - = 6 -
R. 6
8 - x = 5 - 14
R. 17
- 0.36 = x – 4
R. 4.265
x – 14 = 16 -
R. 30
50 – x = x – 14.25
R. 32.13
- x = x -
R.
16 - x = x -
R. 8
5.04 – x = x – 5
R. 5.145
HALLAR EL TÉRMINO MEDIO DIFERENCIAL ENTRE DOS NÚMEROS
EJEMPLO
Hallar la media diferencial entre 8.04 y 4
No hay más que formar una equidiferencia continua cuyo medio diferencial sea x y los extremos los números dados y despejar x;
8.04 – x = x - 4
Despejando x: x = = = 6.02
Y sustituyendo el valor de x: 8.04 – 6.02 = 6.02 – 4
EJERCICIOS
Hallar el término medio diferencial entre:
Resultado
26 y 14
20
18 y 14.04
16.02
25.02 y 0.004
12.512
5.004 y 0.0016
2.5028
y
y
6 y 5
5
14 y
7
100 y 50
75
150 y 20.364
85.182
5 y 0.006
2.803
3.42 y
2.085
8.16 y 5
6.68
16 y
8
50.36 y
25.555
y
PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.
Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:
= o a : b :: c : d
y se lee: a es a b como c es a d.
TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Los términos de una proporción geométrica se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero.
También, según lo visto antes, se llaman antecedentes el primero y el tercer términos, y consecuentes el segundo y cuarto términos.
Así, en la proporción = los extremos son 8 y 5, y los medios 10 y 4; los antecedentes son 8 y 10, y los consecuentes 4 y 5.
CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
Hay dos clases de proporciones geométricas: Proporción discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5, y proporción continua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS TEOREMA
En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a d = c b.
En efecto: multiplicando ambos miembros de la igualdad = por el producto de un medio y un extremo, b x d, para lo cual basta multiplicar solamente los numeradores, tendremos: =
Y simplificando queda: a x d = c x b que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En la proporción = tenemos que 6 x 2 = 3 x 4 o sea 12 = 12
COROLARIOS
De la propiedad fundamental de las proporciones geométricas se derivan los siguientes corolarios:
En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.
Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a = .
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por d, tendremos:
= y simplificando: a = .
EJEMPLO
En = tenemos 9 =
2) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Sea la proporción
Vamos a demostrar que
En efecto: Ya sabemos que ad = bc.
Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por c tendremos:
Y simplificando: .
EJEMPLO
En tenemos
MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4.
TEOREMA
La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Sea la proporción continua vamos a demostrar que
En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que ac=bb, o sea, ac=b2.
Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros, tenemos:
Y simplificando: que era lo que queríamos demostrar.
EJEMPLO
En tenemos que .
HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
EJEMPLOS
Hallar el término desconocido en 8:4::10:x.
Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:
. Sustituyendo el valor de la x en la proporción dada, queda: 8:4::10:5.
Hallar el término desconocido en 10:1/6::x:4.
Como el término desconocido es un medio y un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido tendremos:
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada queda. 10:1/6::240:4.
Hallar el término desconocido en 25:x::x.1/6.
Como el término desconocido es la media proporcional y la media proporcional es la raíz cuadrada del producto de los extremos, tendremos:
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda:
EJERCICIO
Hallar el término desconocido en:
Resultados
8 : x :: 16 : 4
2
X : 1/5 :: 6 : 2
3/5
x:0.04 :: 24 : 0.4
2.4
5: ½ :: x : 0.04
0.4.
14.25: 14 :: x : 0.002
57/28000
1/3:2/5::4.25:x
5 1/10.
0.04: 0.05 :: 0.06: x
0.075
8 ¼: 5 1/6 :: x: 3 1/7.
5 4/217
1/3:1/5::x:2/3
1 1/9
0.03:x::1/6:2/9
1/25
5 2/3:x::8 ¼:5/6
170/297
16:x::x:25
20
1/12:3 1/6::2/3:x
25 1/3
0.49:x::x: 0.64
0.56
0.45:1/12::10 2/9:x
1 217/243
¼:x::x:9/16
3/8
3.45:1/8::x:4.36
120.336
2.25:x::x:1.69
1.95
HALLAR EL TÉRMINO MEDIO PROPORCIONAL ENTRE DOS NÚMEROS
EJEMPLO
Hallar el término medio proporcional entre 16 y 81.
No hay más que formar una proporción geométrica continua cuyo medio proporcional sea x y los extremos los números dados y despejar x. 16:x::x:81,
Despejando x: .
Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda: 16:36::36:81.
EJERCICIO
Hallar el término medio proporcional entre:
Solución
81 y 4.
18
¼ y 1/9.
1/6
64 y 25.
40
25/36 y 40/81
35/54
49 y 0.25.
3.5
0.0144 y 1/324
1/150
0.16. y 169
5.2
121/169 y 289/361.
187/247
0.0064 y 225
1.2
2 ¼ y 3 1/16.
2 5/8
144 y 0.0169
1.56
1 47/529 y 1 49/576.
1 2/23.
HALLAR UNA CUARTA PROPORCIONAL DE TRES NÚMEROS.
Cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta. Así, en la proporción 8:16::5:10, cualquiera de estos cuatro términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.
EJEMPLO.
Hallar una cuarta proporcional de 20, 1/3 y 2/5.
Se forma una proporción geométrica con estas tres cantidades, poniendo de último extremo x y se despeja el valor de x: 20:1/3::2/5:x.
Despejando x:
Sustituyendo el valor de x: 20:1/3::2/5:1/150.
EJERCICIO
Hallar el término medio proporcional entre:
Solución
5, 6, y 0.04.
0.04
150, 24 1/7 y 16 2/5
2 1679/2625.
5/6, ¼ y 2/3.
1/5
5/12, 0.004 y 3.24.
486/15625
1/16, 5 2/3 y 6 1/12
551 5/9
1/14, 5.34 y 16 2/5.
1226 8/125.
HALLAR UNA TERCERA PROPORCIONAL DE DOS NÚMEROS
Tercera o tercia proporcional es el primero o cuarto término de una proporción geométrica continua. Así, en la proporción 20:10::10:5. 20 es una tercia proporcional de 10 y 5, y 5 es una tercia proporcional de 20 y 10.
EJEMPLO.
Hallar una tercera proporcional entre 1/5 y 6.
Se forma una proporción continua, poniendo de término medio proporcional uno de los números dados y x de último extremo y se despeja x:
1/5:6::6:x.
Despejando x:
Sustituyendo el valor de x: 1/5 : 6 :: 180.
EJERCICIO
Hallar el término medio proporcional entre:
Solución
8 y 0.4.
0.02.
0.12 y 0.36.
1.08
5/6 y 2/3
8/15
1/3 y 8 ¼.
204 3/16
1/8 y 14 2/5.
1658 22/25
0.002 y 16.34
133497.8.
